Міністерство освіти, науки, молоді та спорту України Національний університет “ Львівська політехніка ” Кафедра МАМ Розрахункова робота З курсу «Програмування і комп’ютерні технології у виробництві»  Теоретичні відомості Принцип Гамільтона – є одним з найосновніших принципів сучасної теоретичної фізики [97, 98, 111]. Він дає змогу виразити в простій і компактній формі більшість законів природи для голономних систем зі скінченим числом ступенів вільності за умови дії активних сил потенціального характеру [133] і стверджує таке: “Із усіх можливих віртуальних рухів голономної системи лише для реального руху функціонал дії за Гамільтоном одержує стаціонарне значення на всій області інтегрування”. Запишемо це в математичній формі, увівши термін “дія за Гамільтоном”:
, (1.1) де
– дія за Гамільтоном,
– силова функція Лаґранжа (лаґранжіан),
– узагальнена координата,
– узагальнена швидкість,
– часова координата. З формулювання згаданого принципу та виразу (1.1) випливає важливий факт: варіація функціоналу дії за Гамільтоном для реального руху завжди дорівнює нулю [216, 220], тобто
, (1.2) де
– кінетична та потенціальна енергії системи відповідно. Гамільтон сформулював свій принцип, базуючись на функції, яка випливає з рівнянь Лаґранжа другого роду за умови потенціальності активних і пасивних сил, що діють у голономній системі, відсутності сил внутрішньої й зовнішньої дисипацій та відсутності активних і пасивних сил непотенціального характеру, що діють на систему ззовні, зазвичай це консервативні системи. Тому й згадана функція відома в літературі під назвою функція Лаґранжа [109]. На жаль, такий підхід до розв’язання практичних задач є не завжди прийнятним, адже уявити собі реальну систему, де була б відсутньою дисипація енергії, досить важко; а також для багатьох систем очевидна дія ззовні на систему сил непотенціального характеру [125]. Така ситуація призводить до необхідності побудови іншої – модифікованої функції Лаґранжа [94, 125, 133, 256, 269], яка включатиме не тільки кінетичну та потенціальну енергії системи, а й енергії сил зовнішньої і внутрішньої дисипацій та енергію активних і пасивних сил непотенціального характеру, що діють на систему ззовні [94]. Цю модифіковану функцію Лаґранжа запишемо так [94, 133, 156, 256, 269]:
, (1.3) де
– модифікована несилова функція Лаґранжа (неконсервативний лаґранжіан);
– енергія активних і пасивних сил непотенціального характеру, що діють на систему ззовні;
– функція зовнішньої та внутрішньої дисипацій енергії;
– дисипативна функція системи;
– додаткова змінна інтегрування. Ідея модифікації консервативного силового лаґранжіана відома давно. Так, Мілях О.М. і Шидловський А.К. у своїй монографії [94] цитують великого німецького фізика Гельмгольца, який “прийнявши лаґранжову функцію не як різницю кінетичної й потенціальної енергії, а як основну вихідну величину, яка представляє залежність будь-якого виду від узагальнених координат і швидкостей, поширив варіаційний принцип для фізичних систем із скритими й циклічними рухами” [94]. Теорія Гельмгольца розширила поле наукової діяльності в варіаційних принципах, уможлививши застосування їх в неконсервативних дисипативних системах [133, 146, 249, 256]. Для систем з розподіленими параметрами принцип Гамільтона також є справедливим. Його вперше поширив на системи з безмежним числом ступенів вільності український математик М. Остроградський [111]. Запишемо функціонал дії за Гамільтоном для систем з розподіленими параметрами, використовуючи ідею Остроградського щодо поширення згаданого принципу на системи з безмежним числом ступенів вільності [97]:
, (1.4) де
– часово-просторова область інт...